信報龍虎山下專欄

慣用的拍賣招標 非凡的制度設計

拍賣和招標是十分尋常的交易方式，通常由賣家採用，尤其是當賣家不能確定售價，如政府拍賣、土地招標等。拍賣和招標用在私人交易也很普遍，如古董、藝術品拍賣；網上拍賣的方式更普及至幾乎任何商品。

拍賣和招標的大原則同是價高者得，主要分別在招標以暗標進行，而拍賣則由買家公開出價；此分別對買家的出價行為產生明顯影響，可以用對策論（Game Theory）加以分析。

常用的招標以暗標方式進行，價高者得，繳付入標價後就完成交易；如此招標方式的學術名稱是「首價招標」（first-price sealed-bid auction）。

常用的拍賣方式，通常先由賣家開價，然後由買家提價競逐，直至所有買家不再提價為止。拍賣也是價高者得，繳付最後出價後就完成交易，此種拍賣形式又稱為「英式拍賣」（English auction）。

以對策論分析英式拍賣和首價招標，一個標準的假設是：不同買家對同一件拍賣品的價值可以不同，而每個買家的價值是主觀的，不受其他買家影響，此即所謂「私人價值」（private value）。買家只知自己的私人價值，而不知其他買家的私人價值（unknown value）。

出價策略的對比

根據以上假設，買家在英式拍賣的出價行為可推斷如下：只要其他買家的叫價低於自家的私人價值，則此買家仍會繼續提價競逐，直至其他買家叫價升至或超逾其私人價值水平，或所有其他買家不再與之競逐為止。若所有買家的出價行為如此，英式拍賣則最終以最高私人價值的買家成功勝出，而以次高私人價值（second highest private value）為成交價。

接着分析買家在首價招標的出價行為，首先考慮入標價。若買家以低於其私人價值入標；中標的話，就得到正淨價值（因其所付出的入標價為成交價，低於他的私人價值）；否則就無價值可言。

另一方面，買家會否以自己的私人價值入標？一旦中標，其所得淨價值就等如零（因其私人價值成為成交價）。若不中標，則亦無價值可言。由此可見，以私人價值入標，既然一定不及以低於私人價值入標划算，所以是「下策」（dominated strategy）。同一道理，以高於私人價值入標，亦為下策（甚至是下下策）；下策可置不論。

至於入標價應低於私人價值多少，這方面的分析則較為複雜，因為調低入標價雖可增加中標後淨價值，卻會減低中標機會，當中取捨須把問題量化，方能得出具體答案。量化有關問題涉及統計學上的分布（distribution）和數學上的微分方程（differential equation），不在本文討論範圍之内。

然而就算不考慮具體答案，也可得出以下結論：買家在英式拍賣和首價招標的出價行為很不同。買家在英式拍賣可謂「如實呈報」（truth telling），亦即同場除最高私人價值的買家以外，其出價如實呈現其私人價值。相反，買家在首價招標卻不會如此「如實呈報」，其出價總低於其私人價值。既然買家的出價行為受拍賣或招標形式影響，能否設計出一種制度，令所有買家出價「如實呈報」？

次價招標的妙處

William Vickrey（1996年諾貝爾經濟學獎得主）提出「次價招標」（second-price sealed-bid auction），又稱「Vickrey招標」（Vickrey auction）。與首價招標一樣，次價招標依然以暗標進行、價高者得，但Vickrey從中作出以下改動：中標者（即最高入標價買家）只需付次高入標價（second highest bid）完成交易。

表面上，Vickrey招標好像是慷賣家之慨，為甚麼不向中標者收取最高入標價？但問題卻非如此簡單，因為招標制度可以影響買家行為，所以要先了解買家如何在Vickrey招標出價。

首先，買家以私人價值入標而中標的淨價值不再是零，因為他繳付的是次高入標價（低於他的私人價值）。正因如此，就算他降低入標價而仍然中標，其所得的淨價值也是一樣，但降低入標價或會令他中不了標，所以低於私人價值入標也一定不及以私人價值入標，是為下策。

很明顯，如果以私人價值入標而中標，提高入標價沒有好處；所以只需考慮以私人價值入標而不中標，在提高入標價後而中標的情況。以私人價值入標而不中標，代表私人價值低於最高入標價；在提高入標價後而中標，則代表之前最高入標價變成現在次高入標價。在此情況下，中標者的私人價值低於次高入標價，得到負淨價值，比不中標還差。由此可見，以高於私人價值入標，也一定不及以私人價值入標，亦屬下策。

無論以低於或高於私人價值入標，都不及以私人價值入標，以私人價值入標成為Vickrey招標的「上策」（dominant strategy）。以上推論適用於Vickrey招標的所有買家。雖然Vickrey招標只收取次高入標價，但不代表它慷賣家之慨，因為買家把入標價提高至私人價值。

Vickrey略加改動，把首價招標改為次價招標，便把本來是下策的以私人價值入標變為上策，令所有買家（包括最高私人價值的買家）以「如實呈報」方式出價，比英式拍賣更勝一籌。

Vickrey如此設計出一個「如實呈報」的招標制度，讓制度設計者得悉參與者的私人價值，是重大的突破，而為一門新學問—制度設計學（Mechanism Design） —奠下基石。制度設計學的發展已經十分成熟，應用廣泛，不再限於拍賣和招標制度設計，範圍延伸至市場設計、網絡經濟學及各種相關用途，甚至在經濟學範疇以外的科目，如電腦工程學和電腦科學等。

程騰歡 香港大學經濟及工商管理學院副教授
（本文同時於二零一九年一月十六日載於《信報》「龍虎山下」專欄）